벡터와 공간의 개념

벡터란 무엇인가?

수학에서 벡터는 크기(magnitude)와 방향(direction)을 동시에 가진 양입니다. 예를 들어 "동쪽으로 5m"는 벡터이고, "5m"만은 스칼라(크기만)입니다.

AI에서 벡터는 더 넓은 의미로 쓰입니다. 숫자의 목록(배열)이면 무엇이든 벡터라고 부릅니다.

# 예시: 사람의 특징을 벡터로 표현
person = [175, 70, 28]  # [키(cm), 몸무게(kg), 나이]

# 단어 임베딩 벡터 (실제 AI에서 사용)
king  = [0.2, 0.8, -0.1, 0.5, ...]  # 수백 개의 숫자

벡터 연산

덧셈: 두 벡터를 합치다

a = [1, 2, 3]
b = [4, 5, 6]
a + b = [5, 7, 9]  # 같은 위치끼리 더함

이것은 두 힘이 합쳐지는 물리적 의미와 같습니다.

스칼라 곱: 방향을 유지하며 크기를 바꾼다

a = [1, 2, 3]
2 * a = [2, 4, 6]  # 방향은 그대로, 2배 커짐

내적(Dot Product): 두 벡터가 얼마나 비슷한가

내적은 AI에서 가장 중요한 연산 중 하나입니다.

a = [1, 2, 3]
b = [4, 5, 6]
내적 = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32

내적이 크면 두 벡터가 비슷한 방향(유사함), 0이면 수직(무관계), 음수면 반대 방향입니다.

AI에서 벡터가 쓰이는 곳

1. 단어 임베딩 (Word Embedding)

ChatGPT 같은 언어 모델은 단어를 벡터로 변환합니다. "왕 - 남자 + 여자 ≈ 여왕"이라는 유명한 결과도 벡터 연산으로 나옵니다.

2. 코사인 유사도

두 벡터의 각도로 유사성을 측정합니다. 추천 시스템, 검색 엔진에서 핵심적으로 사용됩니다.

코사인 유사도 = (a · b) / (|a| × |b|)
# 결과: -1 ~ 1 사이 (1에 가까울수록 유사)

3. 신경망의 입력

모든 입력 데이터(이미지 픽셀, 텍스트 토큰, 센서 값)는 벡터로 변환되어 신경망에 입력됩니다.

벡터 공간의 직관

2차원 벡터는 xy 평면 위의 화살표입니다. 3차원은 공간 속 화살표입니다. 그렇다면 1,000차원 벡터는? 시각화할 수 없지만 수학은 똑같이 동작합니다. AI는 수백~수천 차원의 벡터 공간에서 데이터를 조작합니다.

핵심: 벡터는 "숫자의 목록"이고, 내적은 "두 벡터의 유사도"를 측정하는 가장 기본적인 도구입니다.

관련 검색어  ·  벡터란, 내적 dot product, 코사인 유사도, 단어 임베딩 벡터, 선형대수 기초, AI 벡터 개념